Hast du es nicht im Griff? Zerlege es in Hosen!
HU-Professor Gaëtan Borot erklärt Mathematik anhand von anschaulichen Beispielen
„Ich muss keine Ahnung vom Filmemachen haben, wenn ich ins Kino gehe“, sagt Mathematikprofessor Gaëtan Borot. „Genauso kann Wissenschaft Teil des kulturellen Lebens aller sein, ohne dass sie selbst Wissenschaft betreiben.“ Borot möchte neben der Arbeit an der Humboldt-Universität zu Berlin seine Leidenschaft für mathematische Themen auch einem interessierten (Laien-)Publikum nahebringen. Dabei begibt er sich gern selbst auf neues Terrain: Zusammen mit dem Klangkünstler Michael Winter schrieb er kleine Musikstücke, deren musikalische Struktur auf mathematischen Eigenschaften der rationalen Zahlen basiert (Beispiele: Vortragsarchiv/Nr. 259, Ausstellung und Performance „A history of the domino problem“).
Zur diesjährigen Langen Nacht der Wissenschaften erzählte Borot gemeinsam mit dem Wissenschaftskommunikator und Mathematiker Demian Goos in der Postkartenreihe „Gedankenidentitäten“ Geschichten aus dem mathematischen Leben, die auch als Audiotexte veröffentlicht wurden. Sein nachfolgender Text geht auf einen Begriff aus der Topologie zurück, bei der eine „Hose“ eine Fläche mit drei Randkomponenten bezeichnet, die als Grundbaustein für die Zerlegung komplizierter Flächen verwendet wird.
Eine Laugenbrezel hat drei Griffe, oder „Löcher“. Sie kann auch in vier Stücke zerlegt werden, die wie ein Y aussehen und die bestimmt einfacher zu essen sind als die ganze Brezel. Ein Y-Stück, das von seinem Inhalt geleert wird, sieht so aus wie eine Hose – und deswegen nennen Mathematiker:innen sie auch so: Hosen! Die Oberfläche einer Brezel ist ein interessantes Beispiel einer zusammenhängenden, geschlossenen, orientierbaren Fläche. Stelle dir ein Insekt vor, das auf deiner Brezel läuft. Egal wo es startet, kann es sich entlang zweier grundsätzlicher Achsen (oder Richtungen) bewegen: links/rechts oder vorwärts/rückwärts. Es kann so nach vielen kleinen Schritten alle Punkte des verfügbaren „Raumes“ besichtigen. Solch einen Raum nennt man eine Fläche. Sie ist dann geschlossen, wenn sie kein Ende/keinen Rand hat und wenn das Insekt sich nicht unendlich weit von seinem Startpunkt entfernen kann. Eine Bettdecke ist auch eine Fläche, aber sie ist nicht geschlossen, da sie einen Rand besitzt, über den das Insekt runterfallen kann. Der alte Glaube an eine flache Erde zeigt, dass der Begriff der geschlossenen Fläche lange Zeit nicht völlig verdaut wurde. Die euklidische Ebene, in der wir in der Schule arbeiten oder in der Architekt:innen ihre Pläne zeichnen, ist nicht geschlossen, weil sie theoretisch unendlich ausdehnbar ist. Die Fläche ist orientierbar, wenn das Insekt niemals sein Links mit seinem Rechts vertauschen kann. Das „Möbiusband“ oder die „Kleinsche Flasche“ sind Beispiele von Flächen, die nicht orientierbar sind. Schließlich bezieht sich das Adjektiv „zusammenhängend“ darauf, dass es nur ein Stück Brezel gibt.
Geschlossene Flächen können verschiedene Gestalten haben: Die Oberfläche der Erde hat keinen Griff, die Oberfläche einer Tasse hat einen, die Oberfläche von einem Brillenrahmen hat zwei (die die Gläser fixieren), und die Oberfläche der Brezel hat drei. Aber diese Gestalt sehen wir von „außen“. Können auch Insekten diese unterschiedlichen Eigenschaften unterscheiden? Merkt es, wenn eine Oberfläche 1, 2 oder 3 Löcher hat? Es ist eine wohlberechtigte Frage, schließlich bewegt es sich auf der Oberfläche und schaut nicht von außen darauf hin. Und die Antwort lautet: ja. So wie auch die Menschheit erkennen konnte, dass unsere Erde eine Kugel ist, so lässt sich ein Loch innewohnend aufspüren, wenn das Insekt eine geschlossene Laufbahn findet, die nicht der Rand eines Flecks sein kann.
Nach zahlreichen Beiträgen in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts, unter denen die Namen von Riemann, Klein, Poincaré, Koebe und Dehn auszusondern sind, konnten Flächen klassifiziert werden. Das Ergebnis ist offensichtlich, der Beweis nimmt eine Menge Mathematik in Anspruch: Jede zusammenhängende, geschlossene, orientierbare Fläche, die nicht wie die Oberfläche einer Orange (g=0) oder eine Tasse (g=1) aussieht, sieht wie eine elastische Bretzel mit g Griffen aus. Es ist also keine andere Gestalt möglich! Außerdem lässt sich jede solche Fläche mit 3g-3 Schnitten in 2g-2 Hosen zerlegen. Diese einzige Zahl 2g-2 heißt die Charakteristik von der Fläche und bestimmt eindeutig ihre Gestalt.
Die Charakteristik ist wie ein Maß für die Komplexität der Fläche. Je größer die Charakteristik, desto mehr Hosen brauchen wir, um die Form zu bilden. Es ist aber ganz oft einfach nur notwendig, zu verstehen, was in der einzelnen Hose passiert, um Eigenschaften über die gesamte Fläche herzuleiten. Deshalb sind Mathematiker:innen so sehr daran interessiert, Hosen zu basteln und zu zählen.
Gaëtan Borot für Adlershof Journal
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Gedankenidentitäten – Demian Goos – Maths, SciCom and Outreach
Prof. Dr. Gaëtan Borot — Institut für Mathematik der HU Berlin